Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму кор­ней урав­не­ния синус 2x= ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби на про­ме­жут­ке [−223°; 333°].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те { дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x.

Тогда имеем:

синус 2x= ко­си­нус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в сте­пе­ни 4 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но синус 2x= ко­си­нус x рав­но­силь­но 2 синус x ко­си­нус x= ко­си­нус x рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, m при­над­ле­жит Z ,x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

 

На про­ме­жут­ке [−223°; 333°] лежат сле­ду­ю­щие корни из пер­вой серии: x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка k= минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка k=0 пра­вая круг­лая скоб­ка , x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка k=1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Их сумма равна дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

На про­ме­жут­ке [−223°; 333°] лежат сле­ду­ю­щие корни из вто­рой серии: x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка m=0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Их сумма равна дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

На про­ме­жут­ке [−223°; 333°] лежат сле­ду­ю­щие корни из тре­тьей серии: x= минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n= минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n=0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Их сумма равна минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

По­это­му сумма равна: дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =240 гра­ду­сов.

 

Ответ: 240.

Сложность: IV
Классификатор алгебры: 6\.6\. Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Методы тригонометрии: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него, Фор­му­лы крат­ных углов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025